Geometria Analítica Plana

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Eixos Coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (ou eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (ou eixo OY).

Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma geral P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.
Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico.
O sistema de Coordenadas Ortogonais também é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Este sistema possui quatro (4) regiões denominadas quadrantes.

Quadrante	Sinal de x	Sinal de y	Exemplo
1o.	+	+	(2,4)
2o.	-	+	(-4,2)
3o.	-	-	(-3,-7)
4o.	+	-	(7,-2)

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Relação de Pitágoras

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados dos catetos b e c.

a2 = b2 + c2

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Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados os pontos P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂), obtem-se a distância entre P e Q, traçando-se projeções destes pontos sobre os eixos coordenados e identificando um triângulo retângulo no gráfico e a partir daí, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ será a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR será um cateto e o segmento QR será o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]² = [d(P,R)]² + [d(Q,R)]² e como: [d(P,R)]² = | x₁ - x₂| ² = (x₁ - x₂)²
[d(Q,R)] ² = | y₁ - y₂| ²=(y₁ - y₂)² então

Exemplos
A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é

d(P,Q) = A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto genérico P=(x,y) é dada por

d(O,P) =

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Ponto médio de um segmento

Dados os pontos P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂), pode-se obter o Ponto Médio M=(x_m,y_m) que está localizado entre P e Q, através do uso da média aritmética por duas vezes, uma para as abscissas e outra para as ordenadas.


x_m = (x₁ + x₂ ) / 2
y_m = (y₁ + y₂ ) / 2 Observação:
O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂) e C=(x₃,y₃), é dado por:

G=( (x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3 )

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Retas no Plano Cartesiano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, dados dois pontos P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

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Coeficiente angular de uma reta

Dados os pontos P ₁ = (x₁,y₁) e P ₂ = (x₂,y₂), com x₁x₂, o coeficiente angular da reta que passa por estes pontos é o número real

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Interpretação geométrica do coeficiente angular de uma reta

O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.
 

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Sinal do coeficiente angular de uma reta no plano

Sinal	ângulo no
Positivo	1o.quadrante
Negativo	2o.quadrante
Positivo	3o.quadrante
Negativo	4o.quadrante

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Declividade de uma reta

A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.
Se o coeficiente é nulo temos uma reta horizontal.

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Coeficiente linear de uma reta

O coeficiente linear de uma reta é a ordenada w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

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Retas horizontais e verticais

Se uma reta for vertical ela não possuirá coeficientes linear e angular e neste caso a reta será indicada apenas por x=a, onde a é a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX. Se uma reta for horizontal, o seu coeficiente angular será nulo e a equação desta reta será dada por y = b, onde b é a ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.

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Equação reduzida da reta

Se for possível calcular tanto o coeficiente angular k como o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

y = kx + w Exemplos

• Se k=5 e w = -4, então a reta é dada por y = 5x-4.
• Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y = x.
• Se k=0 e w=5, temos a reta y = 5.

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A reta obtida a partir de um ponto e o coeficiente angular

Uma reta que passa por um ponto P=(x_o,y_o) e tem coeficiente angular k, é dada por:

y-y_o = k(x-x_o) Exemplos

• Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5.
• Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k=-1, então a sua equação é dada por: y=-x.

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A reta a partir de dois pontos

Dados dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) não alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos através de:

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Retas paralelas

Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se elas possuem os mesmos coeficientes angulares.

Exemplos

• As retas x = 3 e x = 7 são paralelas.
• As retas y = 34 e y = 0 são paralelas.
• As retas y = 2x + 5 e y = 2x - 7 são paralelas.

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Retas perpendiculares

Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical se elas possuem coeficientes angulares k₁ e k₂ de tal modo que:


Exemplos

• As retas y = x + 3 e y = -x +12 são perpendiculares, pois
  k₁=1, k₂=-1 e k₁.k₂=-1.
• As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois
  k₁=5, k₂=-1/5 e k₁.k₂=-1.

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Equação geral da reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita através de sua equação geral, como:

ax + by + c = 0 Exemplos

• Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta - x + y -1 = 0
• Se a=0, b=1 e c =0, tem-se a reta y = 0
• Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x + 5 = 0

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Distância de um ponto a uma reta no plano

Dado um ponto P=(x_o,y_o) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste ponto P à reta através da expressão matemática:


Exemplo
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

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Área de um triângulo no plano cartesiano

Conhecendo-se um ponto (x₁,y₁) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x₂,y₂) e (x₃,y₃), pode-se calcular a área do triângulo formado por estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x₂,y₂) e (x₃,y₃) e a altura do triângulo que é a distância de (x₁,y₁) à reta que contem os outros dois pontos.
Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.
A área do triângulo é dada pela expressão que segue:

Exemplo
A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:

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Colinearidade de pontos no plano

Três pontos (x₁ ,y₁), (x₂ ,y₂) e (x₃ ,y₃) são colineares se pertencem à mesma reta.
Um procedimento simples pressupõe que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta fazer a verificação que o determinante da matriz abaixo seja nulo.

Exemplo:
Os pontos (2,0),(1,1) e (0,2) são colineares porque é nulo o determinante da matriz

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Circunferências no plano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana plana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) do plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b):

A equação desta circunferência é dada por:

(x - a)² + (y - b)² = r² Disco circular é a região que contem a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.
Exemplo
A equação da circunferência centrada em (2,3) e raio igual a 8 é dada por:

(x - 2)² + (y - 3)² = 64 A equação da circunferência centrada na origem (0,0) e raio igual a r, denominada a forma canônica da circunferência, é dada por:

x² + y² = r²

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Equação geral da circunferência

Pode-se desenvolver a equação (x-a)² + (y-b)² = r², para obter a equação geral da circunferência na forma:

x² + y² + Ax + By + C = 0 Exemplo
A equação geral da circunferência centrada em (2,3) e raio igual a 8 é dada por:

x² + y² - 4x - 6y - 51 = 0 A equação da circunferência centrada em um ponto e passando em outro
Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(x_o,y_o) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.
Exemplo
A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que:

r² = (8-3)² + (16-5)² = 25+121=146 logo, a sua equação é dada por:

(x-3)² + (y-5)² = 146

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A equação da circunferência que passa por três pontos

Quando se conhece três pontos da circunferência, utiliza-se a equação geral da circunferência para a obtenção dos coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.
Exemplo
Consideremos uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência:

x² + y² + Ax + By + C = 0 poderemos substituir estes pares ordenados para obter o sistema:

(-2)² + (1)² + A(-2) + B(1) + C = 0
( 1)² + (4)² + A( 1) + B(4) + C = 0
(-3)² + (2)² + A(-3) + B(2) + C = 0 que pode ser simplificado na forma:

-2 A + 1 B + 1 C = -5
 1 A + 4 B + 1 C =  5
-3 A + 2 B + 1 C = 13 e através da Regra de Cramér, podemos obter:

A =    , B =    , C =    assim a equação geral desta circunferência é:

x² + y² + (   )x + (   )y + (   ) = 0

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Algumas Relações no plano cartesiano

Uma relação no plano R² é qualquer subconjunto de R², entretanto as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são aquelas que podem ser representadas por linhas, como por exemplo, as retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles. Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contem, que são as relações matemáticas.

Circunferência
Reta
Elipse
Parábola
Hipérbole

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Seções cônicas

Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas através de seções (cortes planos)de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo.
Tais curvas aparecerão como a interseção do cone com um plano apropriado:

• Se o plano for horizontal e passar pelo vértice do cone, teremos apenas um ponto .
• Se o plano for vertical e passar pelo vértice do cone, teremos duas retas concorrentes .
• Se o plano for horizontal e passar fora do vértice, teremos uma circunferência.
• Se o plano for tangente ao cone, teremos uma reta .
• Se o plano for vertical e passar fora do vértice, teremos uma hipérbole .
• Se o plano for paralelo à linha geratriz do cone, teremos uma parábola .
• Se o plano for inclinado, teremos uma elipse .

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Equações de seções cônicas

Nome	Equação
Ponto	x2 + y2 = 0
Reta	y = kx + w
Parábola	y = ax2 + bx + c
Circunferência	x2 + y2 = r2
Elipse	x2/a2 + y2/b2 = 1
Hipérbole	x2/a2 - y2/b2 = 1
Duas retas	x2/a2 - y2/b2 = 0

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Eudes Jr.              http://www.interaula.com/matweb/gplana/214/ganalit.htm